Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB=2AD=4．

（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱CD上是否存在点M，使得AM⊥平面PBE？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵△PAD为正三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD．

∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD．

∵CD平面ABCD，∴PE⊥CD．

∵AB∥CD，AB⊥AD，∴CD⊥AD．

∵PE∩AD=E，∴CD⊥平面PAD．

∵CD平面ABCD，

∴平面PCD⊥平面PAD．…

解：（Ⅱ）在平面ABCD内作直线EF⊥AD．

∴EF⊥平面PAD，∴EF⊥PE．

以E为原点建立空间直角坐标系E﹣xyz，如图所示．

则P（0，0， ），A（0，﹣1，0），B（2，﹣1，0），C（4，1，0），D（0，1，0）．

=（2，﹣1，﹣ ）， =（4，1，﹣ ）， =（0，1，﹣ ），

设平面PCD的法向量为 =（x，y，z）．

∴ ，令z= ，则 =（0，3， ），

设直线PB与平面PCD所成的角为α．

则sinα=|cos＜ ＞|=| |= ．

∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 ．…

（Ⅲ）在棱CD上假设存在点M，使得AM⊥平面PBE．

∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AM．

要使AM⊥平面PBE成立，只需AM⊥EB成立．

设M（x0，y0，z0）， ．λ∈[0，1]

∴ ，即（x，y﹣1，z）=λ（4，0，0）．∴x=4λ，y=1，z=0．∴M（4λ，1，0）．

∵ ，

∴由 ⊥ ，得 =0，即8λ﹣2=0．解得 ∈[0，1]．

故 ．…

【解析】1、由面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直得到平面PCD⊥平面PAD．
2、线面角指的是这条直线在这个平面内的射影和该线所成的角。原点建立空间直角坐标系E﹣xyz，由题意可得

设直线PB与平面PCD所成的角为α．则sinα=|cos＜ ＞|=| |= ．直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 .
3、在棱CD上假设存在点M，使得AM⊥平面PBE．∵PE⊥平面ABCD，∴PE⊥AM．要使AM⊥平面PBE成立，只需AM⊥EB成立．由向量知识可得由 ，，得即8λ﹣2=0．解得 λ = 1 4 ∈[0，1]．故 ．…