Question

【题目】已知函数f(x)＝ lnx－x＋ ，其中a>0.
（1）若f(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求a的取值范围；
（2）设a∈(1，e]，当x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)时，记f(x2)－f(x1)的最大值为M(a)．那么M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′(x)＝ －1－ ＝ ，x∈(0，＋∞)．
①当a＝1时，f′(x)＝－ ≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不存在极值点；
②当a>0且a≠1时，f′(a)＝f′ ＝0.经检验a， 均为f(x)的极值点．
∴a∈(0,1)∪(1，＋∞)．
（2）解：当a∈(1，e]时，0< <1<a.由(1)知，当f′(x)>0时， <x<a；当f′(x)<0时，x>a或x< .
∴f(x)在 上单调递减，在 上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．
∴对x1∈(0,1)，有f(x1)≥f ；对x2∈(1，＋∞)，有f(x2)≤f(a)．∴[f(x2)－f(x1)]max＝f(a)－f .
∴M(a)＝f(a)－f ＝ － ＝2 ，a∈(1，e]．
M′(a)＝2 lna＋2 ＋2 ＝2 lna，a∈(1，e]．∴M′(a)>0，即M(a)在(1，e]上单调递增．
∴M(a)max＝M(e)＝2 ＋2 ＝ .∴M(a)存在最大值 .
【解析】(1)首先求出原函数的导函数，结合a的取值范围讨论导函数的正负情况即可得出原函数的单调性以及极值点的存在情况，由题意即可得出a的取值范围。(2)根据题意求出原函数的导函数，由x的取值范围讨论得出导函数的正负情况，即可得到原函数的单调性再结合单调性的定义即可证明出M(a)存在最大值。