Question

在（

x

+

1

2 x

）⁸的展开式中，求
（1）常数项；
（2）系数最大的项．

Answer 1

分析：（1）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．
（2）设第r+1项是系数最大的项，则有

C r 8 •2-r≥  C r-1 8 •2-(r-1) C r 8 •2-r≥  C r+1 8 •2-(r+1)

，解得 r的值，即可求得系数最大的项．

解答：解：（1）在（

x

+

1

2 x

）⁸的展开式中，通项公式为T_r+1=

C

r 8

•(

x

)8-r•2-r• (

x

)-r=

C

r 8

•2-r• x4-r．
令 4-r=0，解得r=4，故展开式的常数项为T₅=

C

4 8

•2-4=

35

8

．
（2）设第r+1项是系数最大的项，则有

C r 8 •2-r≥  C r-1 8 •2-(r-1) C r 8 •2-r≥  C r+1 8 •2-(r+1)

，解得 2≤r≤3，
故r=2，或 r=3，
故系数最大的项为 T₃=

C

2 8

•2-2• x4-2=7x²，T₄=

C

3 8

•2-3• x4-3=7x．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．