Question

如图，已知在正方体ABCD- A₁B₁C₁D₁中，E为AB的中点。

（1）求直线B₁C与DE所成角的余弦值；
（2）求证：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）求二面角E-B₁C-D的余弦值。

Answer 1

解：（1）如图，连接A，D，则由A1D∥B1C知，B1C与DE所成的角即为A1D与DE所成的角， 连接A1E，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则 ∴ ∴直线B1C与DE所成角的余弦值是。 （2）取B1C的中点F，B1D的中点G，连接BF，EG，GF ∵CD⊥平面BCC1B1，且BF平面BCC1B1， ∴CD⊥BF 又∵BF⊥B1C，CD∩B1C=C， ∴BF⊥平面B1CD 又∵ ∴ ∴四边形BFGE是平行四边形， ∴BF∥GE， ∴GE⊥平面B1CD ∵GE平面EB1D， ∴平面EB1D⊥平面B1CD。 （2）连接EF ∵CD⊥B1C，GF∥CD， ∴GF⊥B1C 又∵GE⊥平面B1CD， ∴EF⊥B1C， ∴∠EFG是二面角E-B1C-D的平面角， 设正方体的棱长为a，则在△EFC中， ∴ ∴二面角E-B1C-D的余弦值。