Question

【题目】设函数f（x）=aln（x+1），g（x）=ex﹣1，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．
（Ⅰ）当x≥0时，f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）求证： ＜ ＜ （参考数据：ln1.1≈0.095）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）令h（x）=g（x）﹣f（x），

当x≥0时，h（x）=g（x）﹣f（x）=ex﹣1﹣aln（x+1），h'（x）=ex﹣ ，

（ⅰ）若a≤1，则 ＜1＜ex，h'（x）＞0，h（x）在（0，+∞）递增，

h（x）≥h（0）=0，满足题意，

（ⅱ）若a＞1，h'（x）=ex﹣ ，在（0，+∞）递增，h′（x）＞h′（0）=1﹣a，1﹣a＜0

且x→+∞时，h′（x）→+∞，则x0∈（0，+∞）使h'（x0）=0

进而h（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，存在h（x0）＜h（0）=0，不合题意，

故a≤1；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a=1时，g（x）＞f（x）对x＞0恒成立，即ex＞1+ln（x+1）

令x= ，则 ＞1+ln1.1≈1.0953＞ ，

而当a=﹣1时，g（x）＞f（x）对x＜0恒成立，即ex＞ x3+x+1，

令x=﹣ ，则 ＞ （﹣ ）3﹣ +1≈ ，即 ＜ ，

∴ ＜ ＜ ．

【解析】本题抓住1.“f（x）≤g（x）恒成立”结合导数求导及其单调性，分类讨论a的取值范围；2.注意观察清楚第二问的式子结合第一问的相关知识解题。
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．