Question

（08年西城区抽样测试理）（14分）

如图，在三棱锥中，，

，平面平面.    

（Ⅰ）求证：；                   

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求异面直线和所成角的大小.

Answer 1

解析：解法一：

（Ⅰ）证明：

 平面平面，平面平面，

且，         .    ………….. 2分

平面 ，  .

又

  .                         ………….. 4分

（Ⅱ）作于点，于点，连结.

 平面平面，      ， 

根据三垂线定理得 ，

是二面角的平面角.                                     ………….. 6分

设，        .

，        ，

，                                            ………….. 8分

即二面角的大小是.                                        ………….. 9分

 

（Ⅲ）在底面内分别过作的平行线，交于点，

连结.

则是异面直线和所成的角或其补角.  ….. 11分

，

， ，

.

易知底面为矩形，从而，

在中，，                                    ………….. 13分

  异面直线和所成角的大小为.                          ………….. 14分

解法二：

作于点，

 平面平面，

平面.

过点作的平行线，交于点.

如图，以为原点，直线分别为轴，

轴，轴，建立空间直角坐标系 . 

.  

.

，

.

     ………….. 4分

（Ⅰ）证明：

      . 

又

  .                                                        ………….. 7分

 

（Ⅱ）作于点，连结.

平面， 根据三垂线定理得 ，

是二面角的平面角.                                     ………….. 8分

在中， ，

  从而，

，                                         ………….. 10分

即二面角的大小是.                                     ………….. 11分

（Ⅲ），

，

  异面直线和所成角的大小为.                           ………….. 14分