【题目】已知二次函数满足以下两个条件:①不等式
的解集是
②函数
在
上的最小值是3.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若点在函数
的图象上,且
.
(ⅰ)求证:数列为等比数列
(ⅱ)令,是否存在正实数
,使不等式
对于一切的
恒成立?若存在,指出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ)证明过程见解析;(ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根据不等式的解集可知函数与x轴的交点横坐标为
,0且开口向上,根据对称轴判断函数在
上的最小值列出等式求解即可;(Ⅱ)(ⅰ)点
代入函数并整理得
,同时取对数即可得证;(ⅱ)求出
的通项公式代入不等式可得
对于一切的
恒成立,利用二次函数的图象与性质求出
的最大值即可得解.
(Ⅰ)因为不等式的解集是
,
所以设,且函数的对称轴为:
,
因为在
上单调递增,所以最小值为
,解得
,
函数解析式为;
(Ⅱ)(ⅰ)证明:因为点在函数
的图象上,
所以,则
,
,
因为,所以
,
数列是以2为首项,2为公比的等比数列;
(ⅱ),要使不等式
对于一切的
恒成立,
则对于一切的
恒成立,
所以对于一切的
恒成立,
令,
令,则
,(
),
,
所以当时, 不等式
对于一切的
恒成立.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为
轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数,
).
(1)求曲线的直角坐标方程和直线
的普通方程;
(2)若曲线上的动点
到直线
的最大距离为
,求
的值.
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【题目】已知椭圆经过点
,且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若圆的任意一条切线
与椭圆E相交于P,Q两点,试问:
是否为定值? 若是,求这个定值;若不是,说明理由.
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【题目】已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12.
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(1)求甲射击一次,命中不足8环的概率;
(2)求甲射击一次,至少命中7环的概率.
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【题目】已知为椭圆
的右焦点,
为
上的任意一点.
(1)求的取值范围;
(2)是
上异于
的两点,若直线
与直线
的斜率之积为
,证明:
两点的横坐标之和为常数.
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【题目】现有六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比赛),第一周的比赛中
,各踢了
场,
各踢了
场,
踢了
场,且
队与
队未踢过,
队与
队也未踢过,则在第一周的比赛中,
队踢的比赛的场数是( )
A. B.
C.
D.
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