Question

已知函数的图象过点(1,2)，相邻两条对称轴间的距离为2，且的最大值为2.
（Ⅰ）求的单调递增区间；
（Ⅱ）计算；
（Ⅲ）设函数，试讨论函数在区间[1，4]上的零点情况.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）见解析（Ⅲ）

(I)根据题目给的条件可A=2，T=4，可得,再根据图像过点（1，2），
可求出.从而确定f(x)的表达式进而可求出其单调增区间.
，
由于的最大值为2且A>0，
∴ 所以即A=2
∴，又函数的图象过点(1,2)则

∴
由得

∴的单调增区间是
(II)由于周期为4,所以只需要求出f(1),f(2),f(3),f(4)的值，然后即可知.
由（Ⅰ）知，
∴的周期为4，而2012=4×503
且
∴原式
(III)解本小题的关键是知道
函数的零点个数即为函数的图象与直线的交点个数.然后分别作出其图像，从图像上观察得到结论即可.
函数的零点个数即为函数的图象与直线的交点个数.
在同一直角坐标系内作出这两个函数的图象(如下图所示)，

由图象可知:
1）当或时，函数的图象与直线无公共点，即函数无零点；
2）当或时，函数的图象与
直线有一个公共点，即函数有一个零点；
3）当时，函数的图象与
直线有两个公共点，即函数有两个零点.