Question

【题目】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1 ， 且AA1=AB=2

（1）求证：AB⊥BC；
（2）若AC=2 ，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如右图，

取A1B的中点D，连接AD，

因AA1=AB，则AD⊥A1B，

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，

得AD⊥平面A1BC，

又BC平面A1BC，

所以AD⊥BC．

因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BC．

又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC

（2）解：过点A作AE⊥A1C于点E，连DE．

由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A，

∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，

且直角△A1AC中：

又 ， ，

∴ ，

由二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角，∴ ，

即二面角A﹣A1C﹣B的大小为

【解析】（1）取A1B的中点D，连接AD，推导出AD⊥A1B，从而AD⊥平面A1BC，进而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC，由此能证明AB⊥BC．（2）过点A作AE⊥A1C于点E，连DE，推导出∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．