Question

设二次函数f(x)=x²+bx+c(b、c∈R).已知对任意的α、β∈R时,恒有f(sinα)≥0,f(2+cosβ)≤0成立.

(1)求证:b+c=-1;

(2)求证:c≥3;

(3)若函数f(sinα)的最大值为8,求b、c的值.

Answer 1

答案：(1)证明:∵-1≤sinα≤1,且f(sinα)≥0恒成立,

∴f(1)≥0.

∵1≤2+cosβ≤3且f(2+cosβ)≤0恒成立,

∴f(1)≤0.从而f(1)=0.

∴1+b+c=0.

∴b+c=-1.

(2)证明:∵b+c=-1,

∴b=-1-c.

∴f(x)=x²+(-1-c)x+c=(x-1)(x-c).

∵当1≤x≤3时,f(x)≤0,

即(x-1)(x-c)≤0恒成立,

∴x-c≤0,即c≥x恒成立.

∴c≥x_max=3.

(3)解:f(sinα)=sin²α+(-1-c)sinα+c

=(sinα)²+c-()².

当sinα=-1时,f(sinα)_max=2c+2.

与1+b+c=0联立解得b=-4,c=3.