Question

6．若以不等式log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-x-2）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）-1的解集为定义域，求函数y=4^x-2^x+1+5的值域．

Answer 1

分析 把不等式log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-x-2）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）-1化为等价的不等式组，求出解集，即得函数y的定义域，再求函数y的值域即可．

解答 解：不等式log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-x-2）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x-1）-1可化为
log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-x-2）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$2（x-1），
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2＞2（x-1）}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，
化简得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3x＞0}\\{x＞1}\end{array}\right.$，
解得x＞3；
∴该不等式的解集为（3，+∞）；
又当x∈（3，+∞）时，
函数y=4^x-2^x+1+5=2^2x-2•2^x+5=（2^x-1）²+4是单调增函数，
∴y＞2^2×3-2•2³+5=53；
∴函数y的值域为（53，+∞）．

点评 本题考查了指数函数与对数函数的定义域和值域的应用问题，解题时要注意指数与对数的性质的合理运用，是基础题目．