Question

在△ABC中，已知∠ABC=45°，AB=

5 6

2

，D是BC边上的一点，AD=5，DC=3，求AC的长．

Answer 1

分析：在△ABD中，由正弦定理得，可得sin∠ADB=

ABsinB

AD

=

3

2

，所以∠ADB=

π

3

或

2π

3

，然后分∠ADB=

π

3

与∠ADB=

2π

3

两种情况加以讨论，分别在△ADC中用余弦定理可得AC²的值，从而得到AC长为7或

19

．

解答：解：在△ABD中，由正弦定理得，

AD

sin∠B

=

AB

sin∠ADB

∴sin∠ADB=

ABsinB

AD

=

5 6 2 •sin π 4

5

=

3

2

又∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=

π

3

或

2π

3

，
①若∠ADB=

π

3

，则∠ADC=

2π

3

，
在△ADC中，由余弦定理得AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC=49
∴AC=7，
②若∠ADB=

2π

3

，则∠ADC=

π

3

，
在△ADC中，由余弦定理得AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC=19，
∴AC=

19

综上所述，AC长为7或

19

点评：本题在△ABC中，给出∠B的度数和边AB长，BC边上的一点D到A、C两点的距离分别为5和3，求AC的长．着重考查了正弦定理和余弦定理及其应用，属于中档题．