Question

如图为三角函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

）图象的一段．
（1）求函数的解析式及f(

3π

16

)的值；
（2）如果函数y=f （x）-m在（-

π

8

，

3π

16

）内有且仅有一个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过函数的图象，求出A，T得到ω，利用图象经过（

π

3

，0），求出φ即可得到函数的解析式，然后利用两角差的正弦函数求出f(

3π

16

)的值；
（2）函数y=f （x）-m在（-

π

8

，

3π

16

）内有且仅有一个零点，转化方程只有一个根，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）由题意与图象可知A=2，T=2×（

7π

12

-

π

3

）=

π

2

，所以ω=

2π

T

=4．
曲线经过（

π

3

，0）所以0=2sin（4×

π

3

+φ），|φ|≤

π

2

，
φ=-

π

3

，
三角函数f（x）=2sin（4x-

π

3

）．
f（

3π

16

）=2sin（4×

3π

16

-

π

3

）=2sin

3π

4

cos

π

3

-2cos

3π

4

sin

π

3

=

2 + 6

2

．
（2）x∈（-

π

8

，

3π

16

），所以4x-

π

3

∈( -

5π

6

，

5π

12

)，
函数y=f （x）-m在（-

π

8

，

3π

16

）内有且仅有一个零点，
即方程2sin（4x-

π

3

）=m在（-

π

8

，

3π

16

）内有且仅有一个根，
所以4x-

π

3

=-

π

2

，函数只有一个零点，此时m=-2；
4x-

π

3

∈[ -

π

6

，

5π

12

)时函数也只有一个零点，此时-1≤m＜

2 + 6

2

．

点评：本题考查函数解析式的求法，函数的零点与方程的根，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．