Question

已知F是椭圆的右焦点，过F的弦AB满足，则弦AB的中点到右准线的距离为（ ）
A．6
B．
C．3
D．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，设直线AB方程为y=k（x-4），与椭圆消去y得关于x的一元二次方程．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韦达定理得x₁+x₂=，x₁x₂=…①，再由，算出x₁+3x₂=16…②，联解得到x₁+x₂=，得弦AB的中点横坐标为，再算出椭圆右准线方程为x=，即可得出AB的中点到右准线的距离．
解答：解：∵椭圆的右焦点为F（4，0）
∴设直线AB方程为y=k（x-4），
与椭圆消去y，得（9+25k²）x²-200k²x+400k²-225=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
可得x₁+x₂=，x₁x₂=…①
∵
∴4-x₁=3（x₂-4），可得x₁+3x₂=16…②
联解①②，可得k=，x₁+x₂=
∴弦AB的中点横坐标为
∵右准线方程为x==，∴AB的中点到右准线的距离为-=3，
故选：C
点评：本题给出椭圆的焦点弦被焦点分成1：3的两段，求弦的中点到右准线的距离．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．