Question

已知△ABC是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的内接三角形，F是椭圆的右焦点，且△ABC的重心在原点O，则A、B、C三点到F的距离之和为（　　）

• A、9
• B、15
• C、12
• D、8

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），椭圆的离心率为e，则|AF|=a-ex₁，|BF|=a-ex₂，|CF|=a-ex₃，所以|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（x₁+x₂+x₃），由△ABC的重心在原点O得 x₁+x₂+x₃=0，进而可得答案．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），椭圆的离心率为e，
则|AF|=a-ex₁，|BF|=a-ex₂，|CF|=a-ex₃，
所以|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（x₁+x₂+x₃），
因为△ABC的重心在原点O，∴x₁+x₂+x₃=0，
又a=5，
∴|AF|+|BF|+|CF|=15．
故选B．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆第二定义、焦半径公式以及三角形重心坐标公式，在学习过程中将一些结论适当加以应用，常会使问题的解决变得很简便．