Question

已知F是椭圆D：的右焦点，过点E（2，0）且斜率为正数的直线l与D交于A、B两点，C是点A关于x轴的对称点．
（Ⅰ）证明：点F在直线BC上；
（Ⅱ）若，求△ABC外接圆的方程．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设直线l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），F（1，0），
由得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0．
所以，．
又△=64k⁴-8（2k²+1）（4k²-1）＞0，则．
而，，
所以（x₁-1）（kx₂-2k）-（x₂-1）（-kx₁+2k）=k[2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4==0．
∴B、F、C三点共线，即点F在直线BC上．
（Ⅱ）解：因为，，
所以=（1-k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]===1，
又k＞0，解得，满足．
代入（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0，知 x₁，x₂是方程3x²-4x=0的两根，
根据对称性不妨设x₁=0，，即A（0，-1），C（0，1），．
设△ABC外接圆的方程为（x-a）²+y²=a²+1，把代入方程得，
即△ABC外接圆的方程为．
分析：（Ⅰ）设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用向量共线，证明B、F、C三点共线，即点F在直线BC上；
（Ⅱ）利用，确定直线的斜率，从而可求A，B，C的坐标，即可求△ABC外接圆的方程．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．