Question

【题目】数列{an}满足an=2an﹣1+2n+1（n∈N* ， n≥2），a3=27．
（1）求a1 ， a2的值；
（2）是否存在一个实数t，使得bn= （an+t）（n∈N*），且数列{bn}为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由；
（3）求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由a3=27，27=2a2+23+1，

∴a2=9，

∴9=2a1+22+1∴a1=2

（2）解：假设存在实数t，使得{bn}为等差数列．

则2bn=bn﹣1+bn+1，

∴

∴4an=4an﹣1+an+1+t，

∴ ∴t=1，

存在t=1，使得数列{bn}为等差数列

（3）解：由（1）、（2）知： ，

又{bn}为等差数列. ∴ ，

∴Sn=3×20﹣1+5×21﹣1+7×22﹣1+…+（2n+1）×2n﹣1﹣1=3+5×2+7×22+…+（2n+1）×2n﹣1﹣n

∴2Sn=3×2+5×22+7×23+…+（2n+1）×2n﹣2n∴﹣Sn=3+2×2+2×22+2×23+…+2×2n﹣1﹣（2n+1）×2n+n

=

=（1﹣2n）×2n+n﹣1Sn=（2n﹣1）×2n﹣n+1

【解析】（Ⅰ）利用an=2an﹣1+2n+1（n∈N，n≥2），a3=27，代入可求；（Ⅱ）假设存在实数t，使得{bn}为等差数列，从而有2bn=bn﹣1+bn+1 ， ．故可求；（Ⅲ）先求出数列的通项 ，再求和．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．