Question

【题目】已知函数．

（1）若不等式恒成立，求实数的最大值；

（2）当时，函数有零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） 1 ； （2） (-, -]

【解析】

(1)利用绝对值三角不等式得到|x-a|-|x+m-a||m|≤1，即得实数m的最大值.(2)先化简函数g(x)得到分段函数，再根据分段函数的图像有零点得到实数a的取值范围.

（1）因为 f(x)=|x-a|+3a, 所以f(x+m)=|x+m-a|+3a

所以 f(x)- f(x+m)= |x-a|-|x+m-a||m|

因为不等式f(x)- f(x+m)1 恒成立，所以|m|1

解得 -1m

故实数 m 的最大值为 1 ．

（2）当a时，g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+3a=

所以g(x)min=g()=+2a0 .

解得a .

故实数 a 的取值范围是(-, －]