Question

【题目】某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园.如图,已知扇形AOB的圆心角∠AOB=,半径为R.现欲修建的花园为OMNH,其中M,H分别在OA,OB上,N在上.设∠MON=θ,OMNH的面积为S.

(1)将S表示为关于θ的函数;

(2)求S的最大值及相应的θ值.

Answer 1

【答案】（1）S=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈；（2）θ=时,S取得最大值R2.

【解析】

（1）分别过N，H作ND⊥OA于D，HE⊥OA于E，则HEDN为矩形，求出边长，即可求S关于θ的函数关系式；（2）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，通过θ的范围求出S的最大值及相应的θ角.

(1)如图,过N作NP⊥OA于点P,过H作HE⊥OA于点E,∵∠AOB=,

∴OE=EH=NP=Rsin θ,OP=Rcos θ,

∴HN=EP=OP-OE=R(cos θ-sin θ),

∴S=HN·NP=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈.

(2)S=R2(cos θsin θ-sin2θ)

=R2

=R2(sin 2θ+cos 2θ-1)

=R2,

∵θ∈,∴2θ+,

∴当2θ+,即θ=时,S取得最大值,且最大值为R2.