Question

【题目】为迎接2016年“猴”年的到来，某电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，每题只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金1千元，正确回答问题B可获奖金2千元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止．假设某参与者在回答问题前，选择每道题的每个选项的机会是等可能的．
（Ⅰ）如果该参与者先回答问题A，求其恰好获得奖金1千元的概率；
（Ⅱ）试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）随机猜对问题A的概率P1= ，随机猜对问题B的概率P2= ．
设参与者先回答问题A，且恰好获得奖金1千元为事件M，
则P（M）=P1（1﹣P2）= = ，
即参与者先回答问题A，其恰好获得奖金1千元的概率为 ．
（Ⅱ）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：
①先回答问题A，再回答问题B．参与者获奖金额ξ可取0，1000，3000，
则P（ξ=0）=1﹣P1= ，
P（ξ=1000）=P1（1﹣P2）= ，
P（ξ=3000）=P1P2= = ，
∴Eξ=0× +1000× +3000× =500．
②先回答问题B，再回答问题A，参与者获奖金额η，可取0，2000，3000，
则P（η=0）=1﹣P2=1﹣ ，
P（η=2000）=（1﹣P1）P2= = ，
P（η=3000）=P2P1= ．
∴Eη=0× +2000× +3000× ≈583．
∴先回答问题B，再回答问题A，能使该参与者获奖金额的期望值较大
【解析】（Ⅰ）随机猜对问题A的概率P1= ，随机猜对问题B的概率P2= ，利用概率的乘法公式可求参与者先回答问题A，恰好获得奖金1千元的概率；（Ⅱ）参与者回答问题的顺序有两种，先回答问题A，再回答问题B．先回答问题B，再回答问题A，做出两种情况下的获胜的期望，进行比较，分类讨论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．