Question

7．已知向量$\overrightarrow m=（{sinx，1}），\overrightarrow{\;n}=（{\sqrt{3}Acosx，\frac{A}{2}cos2x}）（{A＞0}）$，函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最大值为6．
（1）求A的值及函数图象的对称轴方程和对称中心坐标；
（2）将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在$[{0，\frac{5π}{24}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式和三角形函数的化简求出f（x），再求出对称轴方程和对称中心坐标，
（2）根据图象的变换可得g（x），再根据正弦函数的性质求出函数的值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（{sinx，1}），\overrightarrow{\;n}=（{\sqrt{3}Acosx，\frac{A}{2}cos2x}）（{A＞0}）$，
∴$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$\sqrt{3}$Asinxcosx+$\frac{A}{2}$cos2x=Asin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵函数$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最大值为6，
∴A=6，
∴对称轴方程为$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}\;，\;k∈Z$，对称中心坐标为$（-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，0），k∈Z$；
（2）∵函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位，
再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，
∴$g（x）=6sin（4x+\frac{π}{3}）$，
∵x∈$[{0，\frac{5π}{24}}]$，
∴4x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sinx∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴值域为[-3，6]．

点评 本题考查了平面向量的数量积及三角函数的化简与其性质的应用，属于中档题．