Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，an+1=

1

3

Sn，n∈N^*，则a₂+a₃=

7

9

；a_n=

1，n=1 1 3 ×( 4 3 )n-2，n≥2

．

Answer 1

分析：数列{a_n}中，a₁=1，an+1=

1

3

Sn，n∈N^*，分别今n=1，2，3，分别求出a₂=

1

3

，a₃=

1

3

×

4

3

，a₄=

1

3

×（

4

3

）²，由此猜想a_n=

1

3

×(

4

3

)n-2，n≥2．再用数学归纳法证明，由此能求出结果．

解答：解：∵数列{a_n}中，a₁=1，an+1=

1

3

Sn，n∈N^*，
∴a₂=

1

3

a1=

1

3

，
a₃=

1

3

（1+

1

3

）=

1

3

×

4

3

，
a₄=

1

3

（1+

1

3

+

4

9

）=

1

3

×（

4

3

）²，
由此猜想a_n=

1

3

×(

4

3

)n-2，n≥2．
用数学归纳法证明：
①当n=2时，a₂=

1

3

×(

4

3

)2-2=

1

3

，成立；
②假设n=k时，成立，即ak=

1

3

×(

4

3

)k-2，
则当n=k+1时，
a_k+1=

1

3

[1+

1

3

+

1

3

×

4

3

+…+

1

3

×(

4

3

)k-2]
=

1

3

[1+

1

3

（1+

4

3

+…+（

4

3

）^k-2]
=

1

3

[1+

1

3

×

1×(1-( 4 3 )k-1)

1- 4 3

]
=

1

3

×(

4

3

)k-1，也成立．
故a_n=

1，n=1 1 3 ×( 4 3 )n-2，n≥2

．
∴a₂+a₃=

1

3

+

1

3

×

4

3

=

7

9

，a_n=

1，n=1 1 3 ×( 4 3 )n-2，n≥2

．
故答案为：

7

9

，

1，n=1 1 3 ×( 4 3 )n-2，n≥2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意递推公式的合理运用，合理地运算数学归纳法进行解题．