Question

（2011•西城区二模）已知函数f(x)=(1-

a

x

)ex(x＞0)，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的面积；
（Ⅱ）若函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e⁵，求a的值．

Answer 1

分析：（I）首先对函数求导，代入所给的a=2的条件，得到曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=ex-2e，做出切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（2，0），（0，-2e），表示出三角形的面积．
（II）根据函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，得到方程x²-ax+a=0在（0，+∞）内存在两个不等实根，根据根与系数的关系，求出a的范围，写出极值，根据极值的积做出结果．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

x2-ax+a

x2

ex，…（3分）
当a=2时，f′(x)=

x2-2x+2

x2

ex，f′(1)=

1-2+2

12

×e1=e，f（1）=-e，
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=ex-2e，…（5分）
切线与x轴、y轴的交点坐标分别为（2，0），（0，-2e），…（6分）
∴所求面积为

1

2

×2×|-2e|=2e．…（7分）
（Ⅱ）因为函数f（x）存在一个极大值点和一个极小值点，
所以，方程x²-ax+a=0在（0，+∞）内存在两个不等实根，…（8分）
则

△=a2-4a＞0 a＞0.

…（9分）
所以a＞4．…（10分）
设x₁，x₂为函数f（x）的极大值点和极小值点，
则x₁+x₂=a，x₁x₂=a，…（11分）
因为f（x₁）f（x₂）=e⁵，
所以

x1-a

x1

ex1×

x2-a

x2

ex2=e5，…（12分）
即

x1x2-a(x1+x2)+a2

x1x2

ex1+x2=e5，

a-a2+a2

a

ea=e5，e^a=e⁵，
解得a=5，此时f（x）有两个极值点，
所以a=5．…（14分）

点评：本题看出利用导数求极值和极值存在的条件，本题解题的关键是利用极值存在的条件展开运算，注意题目中出现的一元二次方程根与系数之间的关系．