Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA₁=

3

．
（1）求证：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）求A₁B₁与平面AB₁C₁所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC中算出AC=

AB2-BC2

=

3

，而矩形AA₁C₁C中AC=

3

，得到四边形AA₁C₁C为正方形，从而AC₁⊥A₁C．再由线面垂直的判定与性质，证出B₁C₁⊥A₁C．由B₁C₁、AC₁是平面AB₁C₁内的相交直线，得A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）设AC₁、A₁C的交点为O，连结B₁O．由（1）A₁C⊥平面AB₁C₁，得∠A₁B₁O就是A₁B₁与平面AB₁C₁所成的角，在Rt△A₁B₁C₁中，算出A₁0和A₁B₁的长，利用三角函数的定义算出sin∠A₁B₁O=

6

6

，即可得出A₁B₁与平面AB₁C₁所成的角的正弦值．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=

AB2-BC2

=

3

∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC
∴CC₁⊥AC，得四边形AA₁C₁C为矩形，
∵AA₁=AC=

3

，可得四边形AA₁C₁C为正方形
∴AC₁⊥A₁C，
∵B₁C₁⊥A₁C₁，B₁C₁⊥C₁C，且A₁C₁∩C₁C=C₁，
∴B₁C₁⊥平面AA₁C₁C，
∵A₁C?平面AA₁C₁C，∴B₁C₁⊥A₁C
∵B₁C₁、AC₁是平面AB₁C₁内的相交直线，∴A₁C⊥平面AB₁C₁；
（2）设AC₁、A₁C的交点为O，连结B₁O
∵A₁C⊥平面AB₁C₁，即A₁0⊥平面AB₁C₁，∴∠A₁B₁O就是A₁B₁与平面AB₁C₁所成的角
∵正方形AA₁C₁C的边长AC=

3

，∴A₁0=

2

2

AC=

6

2

∵Rt△A₁B₁C₁中，A₁B₁=AB=3，
∴sin∠A₁B₁O=

A1O

A1B1

=

6

6

，即A₁B₁与平面AB₁C₁所成的角的正弦值等于

6

6

．

点评：本题在特殊三棱柱中证明线面垂直，并求直线与平面所成角大小．着重考查了线面垂直判定定理、直线与平面所成角的定义与求法等知识，属于中档题．