Question

（2012•江西）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=

5

，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）证明在侧棱AA₁上存在一点E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的长；
（2）求平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB₁，BC⊥OE而得以证明．在RT△A1OA中，利用直角三角形射影定理得出EO．
（2）如图，分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A₁B₁C的法向量是

n

=（x，y，z），利用

OE

，

n

夹角求平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的余弦值．

解答：（1）证明：连接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，因为AA₁∥BB₁，所以OE⊥BB₁，
因为A₁O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA₁O，所以BC⊥OE，
所以OE⊥平面BB₁C₁C，又AO=

AB2-BO2

=1，AA₁=

5

，
得AE=

AO2

AA1

=

5

5

，
（2）解：如图，分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A₁（0，0，2）
由

AE

=

1

5

AA1

，得点E得坐标是（

4

5

， 0，

2

5

），
设平面A₁B₁C的法向量是

n

=（x，y，z），由

n • AB =0 n • A1 C=0

得

x-2y=0 y+z=0

令y=1，得x=2，z=-1，所以

n

=（2，1，-1），
所以cos＜

OE

，

n

＞=

OE • n

| OE |•| n |

=

30

10

即平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的余弦值为

30

10

．

点评：本题考查空间直线和平面位置关系的确定，要熟练掌握应用空间有关的性质、定理；还考查了二面角大小求解，本题具有建立空间直角坐标系的良好空间特征，故用向量法为宜．