Question

（2012•江西）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则

|PA|2+|PB|2

|PC|2

=（　　）

A．2

B．4

C．5

D．10

Answer 1

分析：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r，∠CDB=α，得到A、B、C和P各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|²+|PB|²和|PC|²的值，即可求出

|PA|2+|PB|2

|PC|2

的值．

解答：解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，
∵AB是Rt△ABC的斜边，
∴以AB为直径的圆必定经过C点
设AB=2r，∠CDB=α，则
A（-r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）
∵点P为线段CD的中点，
∴P（

1

2

rcosα，

1

2

rsinα）
∴|PA|²=(

1

2

rcosα+r)2+(

1

2

rsinα)2=

5

4

r2+r²cosα，
|PB|²=(

1

2

rcosα-r)2+(

1

2

rsinα)2=

5

4

r2-r²cosα，
可得|PA|²+|PB|²=

5

2

r²
又∵点P为线段CD的中点，CD=r
∴|PC|²=(

1

2

r)2=

1

4

r²
所以：

|PA|2+|PB|2

|PC|2

=

5 2 r2

1 4 r2

=10
故选D

点评：本题给出直角三角形ABC斜边AB上中线AD的中点P，求P到A、B距离的平方和与PC平方的比值，着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题．