Question

设函数f（x）=

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3

x3+ax2-9x-1（a＞0），直线l是曲线y=f（x）的一条切线，当l斜率最小时，直线l与直线10x+y=6平行．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在x=3处的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的一般式方程与直线的平行关系

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，利用切线的斜率的最小值，以及直线l与直线10x+y=6平行．即可求a的值；
（2）利用（1）得到函数的解析式，求出函数的对数，求出切点坐标，斜率，利用点斜式即可求解f（x）在x=3处的切线方程．

解答： 解：（1）函数f（x）=

1

3

x3+ax2-9x-1，可得f′（x）=x²+2ax-9=（x+a）²-9-a²
∴斜率的最小值为-9-a²，直线l与直线10x+y=6平行．
∴-9-a²=-10．
得：a=1．
（2）则f(x)=

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3

x3+x2-9x-1，f′（x）=x²+2x-9
则f（3）=-10，f′（3）=6，
切点坐标为：（3，-10），
切线为：y+10=6（x-3）．
即：y=6x-28．

点评：本题考查函数的导数的应用，切线的斜率以及切线方程的求法，考查计算能力．