Question

已知双曲线C的两条渐近线都过原点，且都与以点A(

2

，0) 为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个定点A₁ 与点A关于直线y=x对称，求双曲线C的标准方程

 

．

Answer 1

分析：设双曲线的渐近线为y=kx，则可求得圆心到直线的距离求得k，进而求得点A的关于直线y=x的对称点，求得双曲线的a和b，双曲线方程可得．

解答：解：设双曲线的渐近线为y=kx，即kx-y=0，
依题意知：

| 2 k|

k2+1

=1，则k=±1，
所以渐近线为y=±x
∵A₁ 与点A关于直线y=x对称
∴A₁ 的坐标为(0，

2

)
设所求双曲线的方程为x²-y²=λ（λ≠0）
代入A₁ (0，

2

)，得λ=-2
所以所求双曲线的方程为

y2

2

-

x2

2

=1．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．圆锥曲线与直线的关系历来是高考的热点，应加强复习．