Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点．
（I）证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；
（II）设AA1=AC=

2

AB，求二面角A₁-AD-C₁的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线，只需证明ED与直线AC₁与BB₁都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC₁，而ED⊥BB₁，即可证得；
（Ⅱ）连接A₁E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A₁F，根据二面角的平面角定义可知∠A₁FE为二面角A₁-AD-C₁的平面角，在三角形A₁FE中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO

∥

.

1

2

C₁C，又C₁C

∥

.

B₁B，所以EO

∥

.

DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BO?面ABC，
故BO⊥平面ACC₁A₁，
∴ED⊥平面ACC₁A₁，ED⊥AC₁，ED⊥CC₁，
∴ED⊥BB₁，ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线．（6分）
（Ⅱ）连接A₁E，由AA₁=AC=

2

AB可知，A₁ACC₁为正方形，
∴A₁E⊥AC₁，又由ED⊥平面ACC₁A₁和ED?平面ADC₁知平面
ADC₁⊥平面A₁ACC₁，
∴A₁E⊥平面ADC₁．
作EF⊥AD，垂足为F，连接A₁F，则A₁F⊥AD，∠A₁FE为二面角A₁-AD-C₁的平面角．
不妨设AA₁=2，则AC=2，AB=

2

，ED=OB=1，EF=

AE×ED

AD

=

2

3

，
tan∠A₁FE=

3

，
∴∠A₁FE=60°．
所以二面角A₁-AD-C₁为60°．（12分）

点评：本题主要考查了异面直线公垂线的证明，二面角的度量，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．