Question

（2010•重庆一模）已知各项均为正数的数列{a_n}满足：a1=3，

an+1+an

n+1

=

8

an+1-an

(n∈N*)，设bn=

1

an

，S_n=b₁²+b₂²+…+b_n²．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：Sn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（I）根据题中已知条件化简可得出a_n+1²与a_n²的关系，再求出a_n²，即可得数列{a_n}的通项公式；
（II）根据（I）中求得的数列{a_n}的通项公式，然后可得 bn＜

1

4

×(

1

n

-

1

n+1

)，裂项求和即可．

解答：解：（I）∵

an+1+an

n+1

=

8

an+1-an

，
∴a_n+1²-a_n²=8（n+1）
∴a_n²=（a_n²-a_n-1²）+（a_n-1²-a_n-2²）+…+（a₂²-a₁²）+a₁²=8[n+（n-1）+…+2]+9=（2n+1）²
∴a_n=2n+1．…（5分）
（II）

b

2 n

=

1

a 2 n

=

1

(2n+1)2

＜

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)∴Sn＜

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

4

(1-

1

n+1

)＜

1

4

…（12分）

点评：本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列的基本性质，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，（II）求解的关键是根据其通项的形式将其项分为两项的差，采用裂项求和的技巧求和．