Question

8．已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+$\frac{1}{2}$x²．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax+b，解关于x的不等式f′（x）-g′（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，分别求出f（0）=1，f′（1）=e，从而求出函数f（x）的解析式；
（2）分别求出f′（x），g′（x）的导数，通过讨论a的范围，从而求出不等式的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=f′（1）e^x-1-f（0）x+$\frac{1}{2}$x²，
∴f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，
∴f′（1）=f′（1）-f（0）+1，
解得：f（0）=1，
∴f（x）=f′（1）e^x-1-x+$\frac{1}{2}$x²，
∴f（0）=f′（1）e^-1，解得：f′（1）=e，
∴f（x）=e^x-x+$\frac{1}{2}$x²；
（2）∵f′（x）=e^x-1+x，g′（x）=x+a，
∴f′（x）-g′（x）=e^x-1-a＞0，
①a≤-1时，不等式无解，
②a＞-1时，解得：x＞ln（a+1）．

点评 本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，考查求函数的解析式问题，本题是一道中档题．