Question

13．在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，若直线MN与BD所成的角为α，则cosα的取值范围是[$\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

Answer 1

分析 首先①当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，进一步利用解三角形知识利用余弦定理求出角的余弦值．
②当N点与D点重合时，线段MN与BD所成的角最小，直接在△MBD中，线段MD与BD所成角为30°，求出夹角的余弦值．最后求出角的余弦值的范围．

解答 解：在正四面体ABCD中，M是AB的中点，N是棱CD上的一个动点，
则：①当N点与C点重合时，线段MN与BD所成的角最大，
设：正四面体的边长为2，
取AD的中点，连接MN、NG，
利用勾股定理得：CM=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
M、G是AB和AD的中点，所以：MG=1，
同理解得：CG=$\sqrt{3}$，
在△CMG中，利用余弦定理得：$cosα=\frac{3+1-3}{2•\sqrt{3}•1}=\frac{\sqrt{3}}{6}$，
即：所成角的余弦值最小为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
②当N点与D点重合时，线段MN与BD所成的角最小，
连接DM，在△MBD中，线段MD与BD所成角为30°，
所以：cos$α=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即所成角的余弦值最大为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
所以：cosα的范围为：[$\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
故答案为：[$\frac{\sqrt{3}}{6}，\frac{\sqrt{3}}{2}$]

点评 本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用，余弦定理的应用，主要考查学生的应用能力和空间想象能力．