Question

3．如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，
AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．
（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）求证：PM∥平面AFC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB，所以可推断出CB⊥平面ABEF，又AF?平面BDC₁，所以CB⊥AF，进而由余弦定理求得BF，推断出AF²+BF²=AB²得AF⊥BF同时利用AF∩CB=B判断出AF⊥平面CFB，即可证明平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）连结OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，推断出PH∥CF，又利用线面判定定理推断出PH∥平面AFC，连结PO，同理推断出PO∥平面AFC，利用面面平行的判定定理，推断出平面POO₁∥平面AFC，最后利用面面平行的性质推断出PM∥平面AFC

解答 证明：（Ⅰ）∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB
∴CB⊥平面ABEF，
又AF?平面BDC₁，∴CB⊥AF
又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，
由余弦定理知BF=$\sqrt{3}$，AF²+BF²=AB²得AF⊥BF
∵AF∩CB=B，∴AF⊥平面CFB
∵AF?平面AFC，
∴平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）连结OM延长交BF于H，则H为BF的中点，又P为CB的中点，
∴PH∥CF，又∵AF?平面AFC，
∴PH∥平面AFC
连结PO，则PO∥AC，AC?平面AFC，PO∥平面AFC
PO∩PO₁=P，
∴平面POO₁∥平面AFC，
PM?平面AFC，
∴PM∥平面AFC．

点评 本题主要考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，面面平行的判定，以及线面垂直的性质，属于中档题．