Question

8．已知双曲线的中心在坐标原点，且实轴长等于4，一条渐近线方程是y=2x，则双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$或$\frac{{y}^{2}}{4}-{x}^{2}=1$．

Answer 1

分析 分类讨论，利用实轴长等于4，一条渐近线方程是y=2x，求出a，b，即可求出双曲线的标准方程．

解答 解：焦点在x轴上，2a=4，$\frac{b}{a}$=2，所以a=2，b=4，所以双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
焦点在y轴上，2a=4，$\frac{a}{b}$=2，所以a=2，b=1，所以双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}-{x}^{2}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$或$\frac{{y}^{2}}{4}-{x}^{2}=1$．

点评 本题给出焦点在x坐标轴上的双曲线满足的条件，求双曲线的标准方程．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．