Question

18．若二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x²-2x+4≤f（x）≤2x²-4x+5成立，且f（5）=27，则f（11）=153．

Answer 1

分析 利用二次函数求出两个函数值相等时，x的值，利用函数的对称性设出函数的解析式，求出函数然后求解函数值．

解答 解：二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x²-2x+4≤f（x）≤2x²-4x+5成立，
可得x²-2x+4=2x²-4x+5，解得x=1，f（1）=3，
函数的对称轴为x=1，
设函数f（x）=a（x²-2x）+b，
由f（1）=3，f（5）=27，
可得-a+b=3，15a+b=27，
解得a=$\frac{3}{2}$，b=$\frac{9}{2}$．
f（x）=$\frac{3}{2}$（x²-2x）+$\frac{9}{2}$，
f（11）=$\frac{3}{2}$（11²-2×11）+$\frac{9}{2}$=153．
故答案为：153；

点评 本题考查函数与方程的应用，二次函数的对称性，函数的解析式的求法，恒成立条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，题目比较新颖．