Question

3．已知a，b，c分别是锐角△ABC单个内角A，B，C的所对的边，且$\sqrt{3}$a=2csinA．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，a+b=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）由$\sqrt{3}$a=2csinA，由正弦定理可得：$\sqrt{3}sinA=2sinCsinA$，化简整理即可得出；
（II）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，化为7=（a+b）²-3ab=25-3ab，可得ab=6，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（I）∵$\sqrt{3}$a=2csinA，
由正弦定理可得：$\sqrt{3}sinA=2sinCsinA$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C为锐角，∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
∴7=（a+b）²-3ab=25-3ab，化为ab=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查正、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．