Question

13．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），其左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A、B分别为椭圆E的左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，且MA交椭圆E于点P．
（i）求证：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$为定值；
（ii）设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，问：直线MQ是否过定点，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意的离心率公式和点满足题意方程，结合椭圆的a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）（i）设M（2，y₀），P（x₁，y₁），求得直线MA的方程，代入椭圆方程，解得点P的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得证；
（ii）直线MQ过定点O（0，0）．先求得PB的斜率，再由圆的性质可得MQ⊥PB，求出MQ的斜率，再求直线MQ的方程，即可得到定点．

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{3}{2{b}^{2}}=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$且a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）（i）证明：由A（-2，0），B（2，0），MB⊥AB，
设M（2，y₀），P（x₁，y₁），
可得MA：y=$\frac{{y}_{0}}{4}$x+$\frac{{y}_{0}}{2}$，
代入椭圆方程可得，（1+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{8}$）x²+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$x+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$-4=0，
由-2x₁=$\frac{4（{{y}_{0}}^{2}-8）}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，可得x₁=-$\frac{2（{{y}_{0}}^{2}-8）}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，
y₁═$\frac{{y}_{0}}{4}$x₁+$\frac{{y}_{0}}{2}$=$\frac{8{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}+8}$，
则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$=-$\frac{4（{{y}_{0}}^{2}-8）}{{{y}_{0}}^{2}+8}$+$\frac{8{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}+8}$•y₀=4为定值；
（ii）直线MQ过定点O（0，0）．
理由如下：由题意可得k_PB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{8{y}_{0}}{{{y}_{0}}^{2}+8}$•$\frac{{{y}_{0}}^{2}+8}{-2（{{y}_{0}}^{2}-8）-2（{{y}_{0}}^{2}+8）}$
=-$\frac{2}{{y}_{0}}$，
由PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，
可得MQ⊥PB，即有k_MQ=$\frac{{y}_{0}}{2}$．
则直线MQ：y-y0=$\frac{{y}_{0}}{2}$（x-2），
即y=$\frac{{y}_{0}}{2}$x，
故直线MQ过定点O（0，0）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示和直线和圆的位置关系，属于中档题．