Question

4．如图，边长为$\sqrt{2}$的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，DC=BC=$\frac{1}{2}$AB=1，点M在线段EC上．
（Ⅰ）证明：平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）判断点M的位置，使得三棱锥B-CDM的体积为$\frac{{\sqrt{2}}}{18}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：ED⊥平面ABCD，BD⊥平面ADEF，即可证明平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，则MN∥ED，利用三棱锥的体积计算公式求出MN，可得结论．

解答 （Ⅰ）证明：∵DC=BC=1，DC⊥BC，
∴BD=$\sqrt{2}$，
∵AD=$\sqrt{2}$，AB=2，
∴AD²+BD²=AB²，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BD，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，ED⊥AD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD，
∴BD⊥ED，
∵AD∩DE=D，
∴BD⊥平面ADEF，
∵BD?平面BDM，
∴平面BDM⊥平面ADEF；
（Ⅱ）解：如图，在平面DMC内，过M作MN⊥DC，垂足为N，则MN∥ED，
∵ED⊥平面ABCD，
∴MN⊥平面ABCD，
∵V_B-CDM=V_M-CDB=$\frac{1}{3}MN•{S}_{△BDC}$=$\frac{\sqrt{2}}{18}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×MN$=$\frac{\sqrt{2}}{18}$，
∴MN=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{MN}{ED}=\frac{CM}{CE}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴CM=$\frac{1}{3}$CE，
∴点M在线段CE的三等分点且靠近C处．

点评 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定与性质，考查三棱锥体积的计算，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．