Question

19．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上的动点P到两个焦点的距离之和为6，且到右焦点距离的最小值为$3-2\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l和椭圆C交于M、N两点，A为椭圆的右顶点，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=0$，求△AMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用已知求解椭圆的几何量，即可求解椭圆C的方程．
（2）设l_AM：y=k（x-3），推出l_AN：$y=-\frac{1}{k}（x-3）$，通过联立方程组，求解|AM|、|AN|求出面积的表达式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）由已知得：2a=6∴a=3$a-c=3-2\sqrt{2}$，$c=2\sqrt{2}$，b=1
∴椭圆C的方程为：$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$…（4分）
（2）设l_AM：y=k（x-3）不失一般性，设k＞0
∵$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}=0$，则  l_AN：$y=-\frac{1}{k}（x-3）$
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-3）}\\{{x^2}+9{y^2}=9}\end{array}}\right.⇒（9{k^2}+1）{x^2}-54{k^2}x+81{k^2}-9=0$
∵点A（3，0）在AM上，设M（x₁，y₁）
∴$3{x_1}=\frac{{81{k^2}-9}}{{9{k^2}+1}}$∴${x_1}=\frac{{27{k^2}-3}}{{9{k^2}+1}}$…（6分）
∴$|AM|=\sqrt{1+{k^2}}|3-{x_1}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{6}{{9{k^2}+1}}$
用$-\frac{1}{k}$替换k得：$|AN|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}•\frac{6}{{\frac{9}{k^2}+1}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{6k}{{{k^2}+9}}$…（8分）
∴$S=\frac{1}{2}|AM|•|AN|$=$\frac{1}{2}（1+{k^2}）•\frac{36k}{{（{k^2}+9）（9{k^2}+1）}}$=$\frac{{18k（1+{k^2}）}}{{9{k^4}+82{k^2}+9}}=\frac{{18k（1+{k^2}）}}{{9{{（{k^2}+1）}^2}+64{k^2}}}$…（10分）
=$\frac{18}{{\frac{{9（{k^2}+1）}}{k}+\frac{64k}{{{k^2}+1}}}}≤\frac{18}{{2\sqrt{9×64}}}=\frac{3}{8}$
当且仅当64k²=9（k²+1）²，即：$k=\frac{{4+\sqrt{7}}}{3}$成立．
∴${S_{max}}=\frac{3}{8}$．…（13分）
注：用其他方法求解，可酌情给分．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的综合应用，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．