Question

9．如图，点C是以A，B为直径的圆O上不与A，B重合的一个动点，S是圆O所在平面外一点，且总有SC⊥平面ABC，M是SB的中点，AB=SC=2．
（1）求证：OM⊥BC；
（2）当四面体S-ABC的体积最大时，设直线AM与平面ABC所成的角为α，求tanα．

Answer 1

分析 （1）证明BC⊥平面SAC，BC⊥SA，OM平行于SA，可得OM⊥BC；
（2）求出四面体S-ABC的体积最大时，$AC=BC=\sqrt{2}$，取BC的中点N，连接MN，AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC，则α=∠MAN，即可求tanα．

解答 （1）证明：由于C是以AB为直径的圆上一点，故AC⊥BC
又SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又SC∩AC=C，
∴BC⊥平面SAC，BC⊥SA，
∵O，M分别为AB，SB的中点，
∴OM平行于SA，
∴OM⊥BC…（6分）
（2）解：四面体S-ABC的体积$V=\frac{1}{3}SC•{S_{△ABC}}=\frac{1}{3}AC•BC≤\frac{1}{6}（A{C^2}+B{C^2}）=\frac{2}{3}$，
当且仅当$AC=BC=\sqrt{2}$时取得最大值…（9分）
取BC的中点N，连接MN，AN，则MN与SC平行，MN⊥平面ABC，则α=∠MAN，
∴$tanα=\frac{MN}{AN}=\frac{1}{{\sqrt{2+\frac{1}{2}}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…（13分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查四面体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．