Question

19．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，O，D，E分别是AB，A₁B₁，AA₁的中点，点F是AB边上靠近A的四等分点．证明：
（1）平面OCC₁D⊥平面ABB₁A₁
（2）EF∥平面BDC₁．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面OCC₁D⊥平面ABB₁A₁
（2）根据线面平行的平判定定理即可证明EF∥平面BDC₁．

解答 证明：（1）如图：∵AA₁⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴AA₁⊥OC，
∵0为AB的中点，
∴OC⊥AB，
∵AB，AA₁?平面ABB₁A₁，OC?平面OCC₁D，
∴平面OCC₁D⊥平面ABB₁A₁
（2）如图，连接OA₁，0为AB的中点，
且AF=$\frac{1}{4}$AB，
∴AF=FO，
∵E是AA₁的中点，
∴EF∥OA₁，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，A₁B₁=AB，
∵O，D分别是AB，A₁B₁的中点，
∴OB∥A₁D，且OB=AD₁，
∴OBD₁A₁为平行四边形，
∴OA₁∥BD，
∴EF∥BD．
∵EF?平面BDC₁，BD?平面BDC₁
∴EF∥平面BDC₁．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定以及线面垂直的判定，要求熟练掌握相应的判定定理．