Question

10．已知函数f（x）=-x³+ax²+1（a∈R）．
（1）若函数f（x）在（0，$\frac{2}{3}$）上递增，在（$\frac{2}{3}$，+∞）上递减，求a的值；
（2）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1（m∈R）的图象与函数y=f（x）的图象恰有三个交点，若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过f′（$\frac{2}{3}$）=0，解出a的值即可；
（2）问题转化为方程x²-4x+（1-m）=0有两个非零不等实根，得到$\left\{\begin{array}{l}{△=16-4（1-m）＞0}\\{1-m≠0}\end{array}\right.$，解出m的范围即可．

解答 解：（1）∵f′（x）=-3x²+2ax，∴f′（$\frac{2}{3}$）=0，
即：-3（$\frac{2}{3}$）2+2a•$\frac{2}{3}$=0，解得：a=1；
（2）函数y=f（x）与g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1（m∈R）的图象恰有3个交点，
等价于方程-x³+x²+1=x⁴-5x³+（2-m）x²+1恰有3个不等实根，
∴x⁴-4x³+（1-m）x²=0，
显然x=0是其中一个根（二重根），
方程x²-4x+（1-m）=0有两个非零不等实根，
则 $\left\{\begin{array}{l}{△=16-4（1-m）＞0}\\{1-m≠0}\end{array}\right.$，
∴m＞-3且m≠1，
故当m＞-3且m≠1时，函数y=f（x）与y=g（x）的图象恰有3个交点．

点评 本题考查了函数的导数的应用，考查二次函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．