Question

2．已知向量$\overrightarrow m=（\sqrt{3}sinωx，-{cos^2}ωx），\overrightarrow n=（cosωx，1）（ω＞0）$，把函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n+\frac{1}{2}$化简为f（x）=Asin（tx+ϕ）+B的形式后，利用“五点法”画y=f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表所示：

x	$\frac{π}{12}$		$\frac{7π}{12}$	①
tx+ϕ	0	$\frac{π}{2}$		$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）	0	1	0	-1	0

（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求ω的值及函数y=f（x）在区间$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}]$上的值域；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$f（\frac{A}{2}+\frac{π}{6}）=1$，c=2，a=$\sqrt{7}$，求$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2$ωx-\frac{π}{6}$），由T=2（$\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}$）=π，可求ω，由x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，可求2x-$\frac{π}{6}$的范围，即可求得f（x）的值域．
（Ⅱ）由f（$\frac{A}{2}+\frac{π}{6}$）=sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，根据A+$\frac{π}{6}$的范围，可解得A，由余弦定理解得b，cosB，利用平面向量数量积的运算即可得解．

解答 解：（Ⅰ）①处应填$\frac{5π}{6}$…1分
f（x）=m•n+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1+cos2ωx}{2}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2$ωx-\frac{π}{6}$）…3分
因为T=2（$\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}$）=π，所以由$\frac{2π}{2ω}=π$，ω=1．
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
因为x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$]，所以-$\frac{7π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{6}$，所以-1≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的值域为[-1，$\frac{1}{2}$]…6分
（Ⅱ）因为f（$\frac{A}{2}+\frac{π}{6}$）=sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，因为0＜A＜π，所以$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
所以A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得（$\sqrt{7}$）²=b²+2²-2×$2b×\frac{1}{2}$，即b²-2b-3=0，解得b=3或b=-1（舍去），
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．
所以$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=|$\overrightarrow{BA}$||$\overrightarrow{BC}$|cosB=2×$\sqrt{7}×\frac{\sqrt{7}}{14}$=1…12分

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，平面向量数量积的运算，考查了余弦定理的应用，属于中档题．