Question

14．已知抛物线过点（0，1）和（0，-1），其准线为圆x²+y²=4的切线，则该抛物线焦点的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（y≠0）．

Answer 1

分析 设出切线方程，表示出圆心到切线的距离求得a和b的关系，再设出焦点坐标，根据抛物线的定义求得点A，B到准线的距离等于其到焦点的距离，然后两式平方后分别相加和相减，联立后，即可求得x和y的关系式．

解答 解：设切线ax+by-1=0，则圆心到切线距离等于半径
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2，
∴a²+b²=$\frac{1}{4}$
设抛物线焦点为（x，y），根据抛物线定义可得$\sqrt{{x}^{2}+（y-1）^{2}}$=$\frac{|b-1|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
$\sqrt{{x}^{2}+（y+1）^{2}}$=$\frac{|-b-1|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
平方相加得：x²+y²+1=4（b²+1）①
平方相减得：y=4b，
∴b=$\frac{y}{4}$②
把②代入①可得：x²+y²+1=4（$\frac{{y}^{2}}{16}$+1）
即：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$
∵焦点不能与A，B共线
∴y≠0
∴$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（y≠0）
∴抛物线的焦点轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（y≠0）．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$（y≠0）．

点评 本题以圆为载体，考查抛物线的定义，考查轨迹方程，解题时利用圆的切线性质，抛物线的定义是关键．