Question

3．如图四边形PDCE是正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，且平面PDCE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE；
（Ⅱ）求证：直线PC⊥平面ADE；
（Ⅲ）若正方形PDCE边长为2a，AB=AD=a，求直线BE与平面PDCE所成角的余弦．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接PC∩DE=O，连接MO，证明MO∥AC，利用直线与平面平行的判定定理证明AC∥平面MDE．
（2）证明AD⊥DC，AD⊥PC，通过直线与平面垂直的判定定理证明直线PC⊥平面ADE．
（3）取AD的中点N，连接BN，连接NE，说明∠BEN是直线BE与平面PDCE所成角，通过解三角形求解即可得到直线BE与平面PDCE所成角的余弦．

解答 证明：（Ⅰ）连接PC∩DE=O，连接MO，因为四边形PDCE是正方形，
所以O是PC的中点，M为PA中点，则MO∥AC，-------------------------（1分）
又MO?平面MDE，----------------------------（2分）
AC?平面MDE，----------------------------（3分）
所以AC∥平面MDE．----------------------------（4分）
（2）平面PDCE⊥平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD=CD．∠ADC=90°
所以AD⊥DC----------------------------（5分）
所以AD⊥平面PDCE----------------------------（6分）
又PC?平面PDCE，所以AD⊥PC----------------------------（7分）
又正方形PDCE中PC⊥DE---------------------------（8分）DE∩AD=D
所以直线PC⊥平面ADE----------------------------（9分）
（3）取AD的中点N，连接BN，则BN∥AD

则BN⊥平面PDCE----------------------------（10分）
连接NE，则NE是BE在平面PDCE内的射影，
所以∠BEN是直线BE与平面PDCE所成角----------------------------（11分）Rt△BCN中$BC=\sqrt{B{N^2}+C{N^2}}=\sqrt{2}a$Rt△BCE中$BE=\sqrt{B{C^2}+C{E^2}}=\sqrt{6}a$
所以Rt△BEN中$sin∠BEN=\frac{BN}{BE}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$----------------------------（12分）
直线BE与平面PDCE所成角的余弦为$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$----------------------------（13分）

点评 本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，看空间想象能力以及计算能力．