Question

13．用1、2、3、4、5、6共6个数字，按要求组成无重复数字的自然数（用排列数表示）．
（1）组成多少个3位数？
（2）组成多少个3位偶数？
（3）组成数字1、2相邻的5位偶数有多少个？
（4）组成能被3整除的三位数有多少个？
（5）组成1、3都不与5相邻的六位数有多少个？
（6）组成个位数字小于十位数的个数有多少个？

Answer 1

分析 （1）选3个全排即可；
（2）第一步确定个位，第二步确定百位和十位，问题得以解决；
（3）第一类，2为个位数字，第二类，4或6为个位数字，再从剩下的3个数中选2个和1，2捆绑在一起组成一个复合元素全排，问题得以解决；
（4）组成能被3整除的三位数的三个数字之和为3的倍数，有1+2+3=6，1+2+6=9，1+3+5=9，1+5+6=12，2+3+4=9，2+4+6=12，3+4+5=12，4+5+6=15，问题得以解决；
（5）若1，3不相邻，把1，3，5插入到2，4，6形成4个空中；若1，3相邻，把1，3捆绑在一起组成一个复合元素和5插入到2，4，6形成4个空中，问题得以解决；
（6）组成个位数字小于十位数的大小顺序只有两种，问题得以解决．

解答 解：（1）选3个全排，故有A₆³个；
（2）第一步确定个位，第二步确定百位和十位，故有A₃¹A₅²个；
（3）第一类，2为个位数字，则有A₄³个，第二类，4或6为个位数字，再从剩下的3个数中选2个和1，2捆绑在一起组成一个复合元素全排，则有A₂¹A₂²C₃²A₃³个，
故组成数字1、2相邻的5位偶数有A₄³+A₂¹A₂²C₃²A₃³个；
（4）组成能被3整除的三位数的三个数字之和为3的倍数，有1+2+3=6，1+2+6=9，1+3+5=9，1+5+6=12，2+3+4=9，2+4+6=12，3+4+5=12，4+5+6=15，
故组成能被3整除的三位数，8A₃³个；
（5）若1，3不相邻，把1，3，5插入到2，4，6形成4个空中，则有A₃³A₄³个；
若1，3相邻，把1，3捆绑在一起组成一个复合元素和5插入到2，4，6形成4个空中，则有A₂²A₃³A₄²个，故组成1、3都不与5相邻的六位数有A₃³A₄³+A₂²A₃³A₄²个；
（6）组成个位数字小于十位数的大小顺序只有两种，故组成个位数字小于十位数的个数有$\frac{1}{2}$A₆⁶个．

点评 本题考查了排列组合的问题，掌握特殊元素优先处理，属于中档题．