Question

1．已知二次函数f（x）=x²+2（10-3n）x+9n²-61n+100，n∈N^*，设函数y=f（x）的图象的顶点的横坐标构成数列{a_n}，构造新数列{3${\;}^{{a}_{n}}$}；正项等比数列{b_n}，项数为100，b₁=1，b₁b₃+2b₂b₄+b₃b₅=9，b₃+b₅=9，则数列{3${\;}^{{a}_{n}}$}与{b_n}所有相同项的和是（　　）

• A． $\frac{27×（{3}^{33}-1）}{2}$
• B． $\frac{9×（2{7}^{33}-1）}{26}$
• C． $\frac{27×（{3}^{32}-1）}{26}$
• D． $\frac{27×（2{7}^{36}-1）}{26}$

Answer 1

分析 因为二次函数表达式为f（x）=x²+2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n∈N^*．可求顶点横坐标，也就得到
数列{a_n}的通项公式，确定b_n=3^n-1，由0＜3n-10≤100，可得4≤n≤36，利用等比数列的求和公式，即可得出结论．

解答 解：由二次函数y=f（x）的对称轴为x=3n-10得a_n=3n-10
b₁b₃+2b₂b₄+b₃b₅=9，b₃+b₅=9，所以b₂+b₄=3，b₃+b₅=9，所以q=3，所以b_n=3^n-1，
由0＜3n-10≤100，可得4≤n≤36，
所以数列{3${\;}^{{a}_{n}}$}与{b_n}所有相同项的和是$\frac{9×（1-2{7}^{33}）}{1-27}$=$\frac{9×（2{7}^{33}-1）}{26}$．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列、等比数列的通项，考查等比数列前n项和公式，属于中档题．