Question

16．已知直线Ax+By+C=0（A²+B²=C²）与圆x²+y²=4交于M，N两点，O为坐标原点，则$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$等于（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 可以想着联立直线方程和圆的方程，将M，N点的坐标求出，所以需讨论A或B是否为0，这里可讨论A是否为0：A=0时，求出y，带入圆的方程，解出x，从而得出M，N的坐标，然后进行数量积的计算即可；A≠0时，可由直线方程求出x并带入圆的方程，会得到关于y的一元二次方程，解方程即得y，从而得到点M，N的坐标，同样进行数量积的运算即可．

解答 解：（1）若A=0，B=±C，带入直线方程得：
y=±1，带入圆的方程得，x=±$\sqrt{3}$；
∴M（$-\sqrt{3}$，1），N（$\sqrt{3}$，1），或M（$-\sqrt{3}$，-1），N（$-\sqrt{3}$，-1）；
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2$；
（2）若A≠0，由直线方程得：
$x=-\frac{B}{A}y-\frac{C}{A}$，带入圆的方程并整理得：
（A²+B²）y²+2BCy+C²-4A²=0；
将A²+B²=C²带入上面方程得，C²y²+2BCy+C²-4A²=0；
解得，$y=\frac{-B±\sqrt{3}A}{C}$；
∴y=$\frac{-B-\sqrt{3}A}{C}$时，x=$\frac{\sqrt{3}B-A}{C}$；y=$\frac{-B+\sqrt{3}A}{C}$时，x=$\frac{-\sqrt{3}B-A}{C}$；
∴$M（\frac{\sqrt{3}B-A}{C}，\frac{-B-\sqrt{3}A}{C}）$，N（$\frac{-\sqrt{3}B-A}{C}，\frac{-B+\sqrt{3}A}{C}$）；
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=\frac{{A}^{2}-3{B}^{2}}{{C}^{2}}+\frac{{B}^{2}-3{A}^{2}}{{C}^{2}}$=$\frac{（{A}^{2}+{B}^{2}）-3（{A}^{2}+{B}^{2}）}{{C}^{2}}$=-2；
综上得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2$．
故选A．

点评 考查联立直线方程和圆的方程求直线和圆交点的方法，不要漏了A=0的情况，一元二次方程的求根公式，以及点的坐标和向量坐标的关系，数量积的坐标运算．