Question

11．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB=2，BC=CD=1，AB∥CD，顶点D₁在底面ABCD内的射影恰为点C．
（Ⅰ）求证：AD₁⊥BC；
（Ⅱ）在AB上是否存在点M，使得C₁M∥平面ADD₁A₁？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：连接D₁C，可证D₁C⊥BC，在等腰梯形ABCD中，连接AC，可证BC⊥AC，BC⊥平面AD₁C，即可证明AD₁⊥BC． 
（Ⅱ）设M是AB上的点，可证AM∥D₁C₁，如果C₁M∥平面ADD₁A₁，则C₁M∥AD₁，可证D₁C₁=DC=AM=$\frac{1}{2}$AB，即点M为AB的中点，从而得解．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：连接D₁C，则D₁C?平面ABCD，
∴D₁C⊥BC，
在等腰梯形ABCD中，连接AC，由C向AB引垂线，垂足为E，
∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD，
∴可求EB=$\frac{1}{2}$，CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AC=$\sqrt{3}$，
∴由勾股定理可得：BC⊥AC，
∴BC⊥平面AD₁C，
∴AD₁⊥BC．   …（6分）
（Ⅱ）设M是AB上的点，
∵AB∥CD，
∴AM∥D₁C₁，
因经过AM、D₁C₁的平面与平面ADD₁A₁相交与AD₁，要是C1M∥平面ADD₁A₁，则C₁M∥AD₁，
即四边形AD₁C₁M为平行四边形，此时D₁C₁=DC=AM=$\frac{1}{2}$AB，即点M为AB的中点．
所以在AB上存在点M，使得C1M∥平面ADD₁A₁，此时点M为AB的中点．…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力和推论论证能力，考查了转化思想，属于中档题．