Question

3．已知动点P（x，y）满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥2|x|-1}\\{y≤x+1}\end{array}\right.$，则z=|2x-3y-6|的最小值是3．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合先求出m=2x-3y-6的最值，即可得到结论．

解答 解：设m=2x-3y-6，得y=$\frac{2}{3}x$$-\frac{6+m}{3}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y=$\frac{2}{3}x$$-\frac{6+m}{3}$，由图象可知当直线y=$\frac{2}{3}x$$-\frac{6+m}{3}$，
经过点C（0，-1）时，直线y=$\frac{2}{3}x$$-\frac{6+m}{3}$的截距最小，此时z最大，得m=2x-3y-6=3-6=-3，
当直线y=$\frac{2}{3}x$$-\frac{6+m}{3}$，
经过点A时，直线y=$\frac{2}{3}x$$-\frac{6+m}{3}$的截距最大，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=2x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），
此时m=2x-3y-6=4-9-6=-11，
即-11≤m≤-3，
则3≤|m|≤11，
即3≤z≤11，
∴z=|2x-3y-6|的最小值是3．
故答案为：3．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．本题要注意先求出m=2x-3y-6的最值，然后结合绝对值的性质进行求解是解决本题的关键．